Prove that, (tanθ + secθ-1)/(tanθ – secθ + 1) = (1 + sinθ)/cosθ

Question

Q) Prove that, $\frac{	an	heta +\sec	heta-1}{	an	heta - \sec	heta +1} = \frac{1+\sin	heta}{\cos	heta}$

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2 methods to solve this question:
1st Method:
LHS      =         $\frac{	an	heta +\sec	heta-1}{	an	heta - \sec	heta +1}$
$	herefore        \frac{\frac{\sin	heta}{\cos	heta} + \frac{1}{cos	heta} -1}{\frac{\sin	heta}{\cos	heta} - \frac{1}{cos	heta} - 1}$
=       $\frac{\sin	heta + 1 - \cos	heta} {\sin	heta – 1 + \cos	heta} =       \frac{(\sin	heta - \cos	heta) + 1 } {(\sin	heta + \cos	heta) - 1}$
Multiplying numerator & denominator by (sin θ + cos θ + 1), we get:
$\frac{(\sin	heta - \cos	heta) + 1 } {(\sin	heta + \cos	heta) - 1}$ x $\frac{(\sin	heta + \cos	heta) + 1 } {(\sin	heta + \cos	heta) + 1}$
=       $\frac{(\sin	heta - \cos	heta)(\sin	heta + \cos	heta) + (\sin	heta + \cos	heta) + (\sin	heta - \cos	heta) + 1 } {(\sin	heta + \cos	heta)^2 - 1 }$
=       $\frac{(\sin^2	heta - \cos^2	heta) + 2\sin	heta + 1 } {(\sin^2	heta + \cos^2	heta + 2 \sin	heta\cos	heta) - 1 }$
We know that sin2 θ + cos2 θ = 1
$	herefore          \frac{(\sin^2	heta - \cos^2	heta) + 2\sin	heta + (\sin^2	heta + \cos^2	heta) } {2 \sin	heta\cos	heta}$
=       $\frac{(2\sin^2	heta) + (2\sin	heta)}{2 \sin	heta\cos	heta)}$          =       $\frac{2\sin	heta (1 + \sin	heta)}{2 \sin	heta \cos	heta}$
=       $\frac{(1 + \sin	heta)}{\cos	heta}$         =         RHS             Hence Proved!
2nd Method:
LHS     =          $\frac{	an	heta + \sec 	heta -1}{	an	heta - \sec 	heta +1}$
We know that, 1 + tan2 θ = sec2 θ
$	herefore$      1 =  sec2 θ - tan2 θ
$	herefore        \frac{	an	heta + \sec 	heta -1}{	an	heta - \sec 	heta +1}$ = $\frac{	an	heta + \sec 	heta – (\sec^2	heta - 	an^2	heta)}{	an	heta - \sec 	heta +1}$
=       $\frac{(	an	heta + \sec 	heta) – (\sec	heta + 	an	heta) (\sec	heta - 	an	heta)}{	an	heta - \sec 	heta +1}$
=       $\frac{(	an	heta + \sec 	heta) (1– (\sec	heta - 	an	heta))}{	an	heta - \sec 	heta +1}$
=       $\frac{(	an	heta + \sec 	heta) (1– \sec	heta + 	an	heta)}{1+	an	heta - \sec 	heta}$
=       tan θ + sec θ
=       $\frac{\sin	heta}{\cos	heta} + \frac{1}{\cos	heta}$
=       $\frac{(1 + \sin	heta)}{\cos	heta}$         =         RHS             Hence Proved!

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