Prove that : (sin θ – cos θ + 1) / (sin θ + cos θ – 1) = 1/ (sec θ – tan θ)

Question

Q) Prove that : $\frac{\sin 	heta  – \cos 	heta + 1}{\sin 	heta + \cos 	heta - 1} = \frac{1}{\sec 	heta - tan 	heta}$

Sapling Academy · Accepted Answer

Let's start with LHS:
LHS = $\frac{\sin 	heta  – \cos 	heta + 1}{\sin 	heta + \cos 	heta - 1}$
= $\frac{\sin 	heta  – \cos 	heta + 1}{\sin 	heta + \cos 	heta - 1} 	imes \frac {\sin 	heta + \cos 	heta - 1}{\sin 	heta + \cos 	heta - 1}$
= $\frac{\sin 	heta  (\sin 	heta + \cos 	heta - 1) – \cos 	heta (\sin 	heta + \cos 	heta - 1) + 1 (\sin 	heta + \cos 	heta - 1)}{\sin 	heta (\sin 	heta + \cos 	heta - 1) + \cos 	heta (\sin 	heta + \cos 	heta - 1) - 1 (\sin 	heta + \cos 	heta - 1)}$
= $\frac{(\sin ^2 	heta  + \sin 	heta \cos 	heta - \sin 	heta – \sin 	heta \cos 	heta - \cos ^2 	heta + \cos 	heta  +  \sin 	heta + \cos 	heta - 1)}{(\sin ^2 	heta + \sin 	heta \cos 	heta -  \sin 	heta + \sin 	heta \cos 	heta + \cos ^2 	heta - \cos 	heta - \sin 	heta - \cos 	heta + 1)}$
= $\frac{(\sin ^2 	heta  + \cancel {\sin 	heta \cos 	heta} - \cancel {\sin 	heta} – \cancel {\sin 	heta \cos 	heta} - \cos ^2 	heta + \cos 	heta  +  \cancel {\sin 	heta} + \cos 	heta - 1)}{(\sin ^2 	heta + \sin 	heta \cos 	heta -  \sin 	heta + \sin 	heta \cos 	heta + \cos ^2 	heta - \cos 	heta - \sin 	heta - \cos 	heta + 1)}$
= $\frac{(\sin ^2 	heta  - \cos ^2 	heta + 2 \cos 	heta  - 1)}{(\sin ^2 	heta + \cos ^2 	heta + 2 \sin 	heta \cos 	heta -  2 \sin 	heta - 2 \cos 	heta + 1)}$
∵ sin2 θ + cos2 θ = 1
∴ LHS = $\frac{(\sin ^2 	heta  - \cos ^2 	heta + 2 \cos 	heta  - (\sin ^2 	heta  + \cos ^2 	heta))}{(1 + 2 \sin 	heta \cos 	heta -  2 \sin 	heta - 2 \cos 	heta + 1)}$
= $\frac{(\sin ^2 	heta  - \cos ^2 	heta + 2 \cos 	heta  - \sin ^2 	heta  - \cos ^2 	heta)}{(2 + 2 \sin 	heta \cos 	heta -  2 \sin 	heta - 2 \cos 	heta)}$
= $\frac{(\cancel {\sin ^2 	heta}  - 2 \cos ^2 	heta + 2 \cos 	heta  - \cancel {\sin ^2 	heta})}{(2 -   2 \sin 	heta - 2 \cos 	heta + 2 \sin 	heta \cos 	heta)}$
= $\frac{( 2 \cos 	heta - 2 \cos ^2 	heta)}{(2(1 -   \sin 	heta) - 2 \cos 	heta (1 - \sin 	heta))}$
= $\frac{2 \cos 	heta (1 -  \cos 	heta)}{2(1 -   \sin 	heta) ( 1 - \cos 	heta)}$
= $\frac{ \cancel{2} \cos 	heta \cancel{(1 -  \cos 	heta)}}{\cancel{2}(1 -   \sin 	heta) \cancel{( 1 - \cos 	heta)}}$
= $\frac{(\cos 	heta)}{(1 -   \sin 	heta)}$
By dividing the numerator & denominator by cos θ, we get:
= $\frac{\frac{\cos 	heta}{\cos 	heta}}{\frac{1 - \sin 	heta}{\cos 	heta}}$
= $\frac{\frac{\cos 	heta}{\cos 	heta}}{\frac{1}{\cos 	heta} -  \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta}}$
= $\frac{1}{\sec 	heta -  \...

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