If x = a sec(theta) + b tan theta and y = a tan theta + b sec(theta), prove that x ^ 2 – y ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2

Question

$If ~x = a~ sec~	heta + b ~tan~	heta ~and~y = a~ tan~	heta + b~ sec~	heta,$ $~prove~that~ x ^ 2 - y ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2$

Sapling Academy · Accepted Answer

Here, $x^2-y^2 = (a~ sec~	heta + b ~tan~	heta)^2 - (a~ tan~	heta + b~ sec~	heta)^2$ $= (a^2\sec{^2	heta}+2ab~ sec~	heta ~tan~	heta+b^2	an{^2	heta})$ - $(a^2	an{^2	heta}+2ab~ sec~	heta ~tan~	heta+b^2\sec{^2	heta}$ $= a^2\sec{^2	heta}+2ab~ sec~	heta ~tan~	heta+b^2	an{^2	heta}$ - $a^2	an{^2	heta}-2ab~ sec~	heta ~tan~	heta-b^2\sec{^2	heta}$ $= a^2\sec{^2	heta}+\cancel{2ab~ sec~	heta ~tan~	heta}+b^2	an{^2	heta}$ - $a^2	an{^2	heta}-\cancel{2ab~ sec~	heta ~tan~	heta}-b^2\sec{^2	heta}$ $= a^2\sec{^2	heta}+b^2	an{^2	heta}-a^2	an{^2	heta}-b^2\sec{^2	heta}$ $= a^2\sec{^2	heta}-a^2	an{^2	heta}+b^2	an{^2	heta}-b^2\sec{^2	heta}$ $= a^2(\sec{^2	heta}-	an{^2	heta})+b^2(	an{^2	heta}-\sec{^2	heta})$ $= a^2(\sec{^2	heta}-	an{^2	heta})-b^2(\sec{^2	heta}-	an{^2	heta})$ $= (a^2-b^2) (\sec{^2	heta}-	an{^2	heta})$ $We~know~that~ (\sec{^2	heta}-	an{^2	heta})=1$ $	herefore \bf{x^2-y^2=a^2-b^2}...Hence~ Proved !$ Please do press “Heart” button if you liked the solution.

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